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1. त्रिकोणमिति का परिचय

त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो किसी समकोण त्रिभुज के कोणों और भुजाओं के बीच के संबंधों का अध्ययन करती है। मुख्य त्रिकोणमितीय अनुपात (साइन, कोसाइन, और टैन्जेंट) इन्हीं संबंधों पर आधारित होते हैं।

समकोण त्रिभुज में महत्वपूर्ण शब्दावली:

• कर्ण (Hypotenuse, H): समकोण के सामने की भुजा (सबसे लंबी भुजा)।
• आधार (Adjacent, A): कोण के साथ लगी हुई भुजा।
• लंब (Opposite, O): कोण के सामने वाली भुजा।

2. त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios)

किसी कोण θ के लिए समकोण त्रिभुज में निम्नलिखित अनुपात होते हैं:

• साइन (sin θ) = लंब / कर्ण = O / H
• कोसाइन (cos θ) = आधार / कर्ण = A / H
• टैन्जेंट (tan θ) = लंब / आधार = O / A

त्रिकोणमिति के व्युत्क्रम अनुपात (Reciprocal Ratios):

• कोसेकेंट (csc θ) = 1 / sin θ = कर्ण / लंब = H / O
• सेकेंट (sec θ) = 1 / cos θ = कर्ण / आधार = H / A
• कोटैन्जेंट (cot θ) = 1 / tan θ = आधार / लंब = A / O

3. विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात

0°, 30°, 45°, 60°, और 90° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात इस प्रकार होते हैं:

4. पायथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)

किसी समकोण त्रिभुज में:
[ \text{कर्ण}^2 = \text{लंब}^2 + \text{आधार}^2 ]

यह प्रमेय तब उपयोगी होता है जब त्रिभुज की दो भुजाएं दी जाती हैं और तीसरी ज्ञात करनी हो।

5. त्रिकोणमितीय पहचान (Trigonometric Identities)

1. sin² θ + cos² θ = 1
2. 1 + tan² θ = sec² θ
3. 1 + cot² θ = csc² θ

ये पहचानें त्रिकोणमिति में समीकरणों को सरल बनाने और हल करने के लिए उपयोगी हैं।

6. त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग (Applications of Trigonometry)

त्रिकोणमिति का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में होता है, जैसे:

• ऊँचाई और दूरी (Height and Distance) की समस्याओं में।
• नेविगेशन, खगोलशास्त्र और भूगोल में।
• वास्तुकला और इंजीनियरिंग में।

7. ऊँचाई और दूरी (Height and Distance)

जब किसी वस्तु की ऊँचाई या दो बिंदुओं के बीच की दूरी मापनी हो, तो निम्नलिखित शब्द उपयोग किए जाते हैं:

• ऊर्ध्व कोण (Angle of Elevation): क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच का कोण, जब कोई वस्तु क्षैतिज रेखा से ऊपर हो।
• अधो कोण (Angle of Depression): क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच का कोण, जब कोई वस्तु क्षैतिज रेखा से नीचे हो।

8. रेखाचित्र (Ray Diagrams)

त्रिकोणमितीय अनुपात के लिए रेखाचित्र (Right-Angled Triangle)

नीचे दिए गए रेखाचित्र में समकोण त्रिभुज में कोण θ और भुजाओं के बीच संबंध को दर्शाया गया है:

       |\
       | \
 आधार |  \  कर्ण
       |   \
       |____\
     लंब   θ

यहाँ:

• कर्ण सबसे लंबी भुजा है।
• लंब कोण θ के सामने वाली भुजा है।
• आधार कोण θ के साथ लगी हुई भुजा है।

ऊँचाई और दूरी के लिए रेखाचित्र (Height and Distance)

मान लीजिए, कोई व्यक्ति एक भवन की ऊँचाई देख रहा है। निम्नलिखित रेखाचित्र में ऊर्ध्व कोण (θ) और दूरी (D) को दर्शाया गया है:

        |
       /|
      / |
     /  |  ऊँचाई (H)
    /___|
  दूरी (D)     θ

9. हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1:

किसी त्रिभुज में जहाँ लंब 4 इकाई, आधार 3 इकाई और कर्ण 5 इकाई है, साइन, कोसाइन और टैन्जेंट ज्ञात कीजिए।

• sin θ = लंब / कर्ण = 4 / 5 = 0.8
• cos θ = आधार / कर्ण = 3 / 5 = 0.6
• tan θ = लंब / आधार = 4 / 3 = 1.33

उदाहरण 2:

एक सीढ़ी दीवार से 60° का कोण बनाती है। यदि सीढ़ी की लंबाई 10 मीटर है, तो दीवार की ऊँचाई ज्ञात करें।

• cos 60° = आधार / कर्ण
• आधार (ऊँचाई) = cos 60° × कर्ण = (1/2) × 10 = 5 मीटर

10. अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

1. sin 30°, cos 60°, और tan 45° के मान ज्ञात करें।
2. सिद्ध करें कि 1 + cot² θ = csc² θ।
3. एक व्यक्ति 50 मीटर दूर खड़ा होकर एक मीनार के शीर्ष को 30° के ऊर्ध्व कोण पर देखता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

ये नोट्स कक्षा 9वीं और 10वीं के छात्रों के लिए त्रिकोणमिति को समझने के लिए उपयोगी हैं, जिसमें रेखाचित्र और उदाहरणों के माध्यम से प्रमुख अवधारणाओं को समझाया गया है।

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Trigonometry For Class 9th and class 10th

1. Introduction to Trigonometry

Trigonometry is the study of the relationships between the angles and sides of a right-angled triangle. The primary trigonometric ratios (sine, cosine, and tangent) are based on these relationships.

Right-Angled Triangle Terminology:

• Hypotenuse (H): The side opposite the right angle (the longest side).
• Adjacent (A): The side next to the angle of interest.
• Opposite (O): The side opposite the angle of interest.

2. Trigonometric Ratios

For an angle θ in a right-angled triangle:

• Sine (sin θ) = Opposite / Hypotenuse = O / H
• Cosine (cos θ) = Adjacent / Hypotenuse = A / H
• Tangent (tan θ) = Opposite / Adjacent = O / A

Reciprocal Ratios:

• Cosecant (csc θ) = 1 / sin θ = Hypotenuse / Opposite = H / O
• Secant (sec θ) = 1 / cos θ = Hypotenuse / Adjacent = H / A
• Cotangent (cot θ) = 1 / tan θ = Adjacent / Opposite = A / O

3. Trigonometric Ratios for Specific Angles

Here are the values of the trigonometric ratios for standard angles 0°, 30°, 45°, 60°, and 90°.

4. Pythagoras Theorem

In a right-angled triangle:
[ \text{Hypotenuse}^2 = \text{Opposite}^2 + \text{Adjacent}^2 ]

This theorem is essential in calculating unknown sides when given two sides of a triangle.

5. Trigonometric Identities

1. sin² θ + cos² θ = 1
2. 1 + tan² θ = sec² θ
3. 1 + cot² θ = csc² θ

These identities are useful for simplifying expressions and solving equations in trigonometry.

6. Applications of Trigonometry

Trigonometry is widely used in:

• Height and distance problems.
• Navigation, astronomy, and geography.
• Architecture and engineering.

7. Height and Distance

When calculating the height of an object or the distance between two points, we often use the following terms:

• Angle of Elevation: The angle formed by the horizontal and the line of sight to an object above the horizontal.
• Angle of Depression: The angle formed by the horizontal and the line of sight to an object below the horizontal.

8. Ray Diagrams

Ray Diagram for Trigonometric Ratios (Right-Angled Triangle)

The following diagram illustrates the relationship between the sides of a right-angled triangle and the angle θ:

       |\
       | \
 Adj.  |  \  Hypotenuse
       |   \
       |____\
     Opp.   θ

Here:

• Hypotenuse is the longest side.
• Opposite is the side opposite the angle θ.
• Adjacent is the side next to the angle θ.

Ray Diagram for Height and Distance

Imagine a person looking at the top of a building. The following ray diagram shows the angle of elevation (θ) and the distance (D):

        |
       /|
      / |
     /  |  Height (H)
    /___|
  Distance (D)     θ

9. Solved Examples

Example 1: Find the sine, cosine, and tangent of an angle in a triangle where the opposite side is 4 units, the adjacent side is 3 units, and the hypotenuse is 5 units.

• sin θ = Opposite / Hypotenuse = 4 / 5 = 0.8
• cos θ = Adjacent / Hypotenuse = 3 / 5 = 0.6
• tan θ = Opposite / Adjacent = 4 / 3 = 1.33

Example 2: A ladder leans against a wall making an angle of 60° with the ground. If the ladder is 10 meters long, find the height of the wall the ladder reaches.

• cos 60° = Adjacent / Hypotenuse
• Adjacent (Height) = cos 60° × Hypotenuse = (1/2) × 10 = 5 meters

10. Practice Questions

1. Find the values of sin 30°, cos 60°, and tan 45°.
2. Prove that 1 + cot² θ = csc² θ.
3. A person standing 50 meters away from a tower sees the top of the tower at an angle of elevation of 30°. Find the height of the tower.